Пусть есть процесс, который мы наблюдали бесконечно долго в
прошлом. Рассмотрим разложение Вольда для этого процесса:
\begin{equation}\label{vald}
	Y_t=\sum\limits_{j=0}^{\infty}{\psi_j\varepsilon_{t-j}}
\end{equation}
Где $\varepsilon_t$ - белый шум. Т.е.:
$$
\left\{
\begin{aligned}
&\mathsf E \varepsilon_t \varepsilon_s=0 t\ne s \\
&\mathsf E (\varepsilon_t)^2=(\sigma_{\varepsilon})^2 \\
&\mathsf E \varepsilon_t=0
\end{aligned}
\right .
$$

Чтобы разложение (\ref{vald}) имело место быть необходимо
выполнение следующего условия:
$\sum\limits_{j=0}^{\infty}{\psi_j}^2 < \infty$. Мы будем
полагать, что выполнено более сильное условие:
\begin{equation}
\sum\limits_{j=0}^{\infty}|\psi_j|<\infty. \label{vald_cond}
\end{equation}
Определение:\\
$\varPsi (B)$: $\varPsi (B)=1+\psi_1 B + \dots +\psi_k B^k+\dots$,
где $B$ - оператор, такой что $B\varepsilon_t=\varepsilon_{t-1}$
называется линейным фильтром.\\

Таким образом, при выполнении условия (\ref{vald_cond}), можно
утверждать, исходя из представления (\ref{vald}), что любой
стационарный (в широком смысле) процесс можно представить как
фильтр от белого шума.\\

Будем предполагать, что $\varPsi(B)\ne 0$ при $||B||\le 1$. Тогда
можем найти $\varPi(B)=\varPsi^{-1}(B)$:\\
$\varPi(B)=1-\pi_1B-\dots - \pi_kB-\dots
=1-\sum\limits_{j=1}^{\infty}{\pi_j B^j}$, где (в силу того, что $\varPi(B)\varPsi(B)=1$):\\

\begin{align*}
\pi_1&=\psi_1\\
\pi_2&=\psi_2-\psi_1\\
\dots
\end{align*}

Тогда $Y_t$ можно представить следующим образом:\\
$Y_t=\{\pi_1Y_{t-1}+\pi_2Y_{t-2}+ \dots\} + \varepsilon_t$

%\subsection{Анализ основных характеристик}
\begin{enumerate}
\item

Найдем $\mathsf D Y_t$:\\
$\mathsf D
Y_t=\sum\limits_{j=0}^{\infty}{\psi_j^2\sigma_{\varepsilon}^2}$

\item

Найдем $R(k)$:\\
$R(k)=\sigma_{\varepsilon}^2 - \sum\limits_{j=0}^{\infty}{\psi_j
\psi_{j+k}}$

\item

Найдем кросс-ковариационную функцию $R_{\varepsilon Y}(k)$:\\
$R_{\varepsilon Y}(k)=cov(\varepsilon_t,Y_{t-k})$\\
Исходя из представления (\ref{vald}):\\
$\mathsf E (\varepsilon_t Y_{t-k})
=\sum\limits_{j=0}^{\infty}{\mathsf E(\varepsilon_t
\varepsilon_{t-k-j} \psi_j)}$\\
Тогда из определения белого шума, получаем:
$$
R_{\varepsilon Y}(k)=
\begin{cases}
0,k>0\\
\psi_{-k}\sigma_{\varepsilon}^2,k\le0\\
\end{cases}
$$
\end{enumerate}

%\subsection{Примеры}
\begin{itemize}
\item

Процессы скользящего среднего порядка $q$.\\
Обозначение: $CC(q)$.\\
Определение:
\begin{equation}
\begin{aligned}
&\psi_k=0 k\ge0\\
&Q_i = -\psi_j  i\le q\\
&Y_t=\varepsilon_t-Q_1\varepsilon_{t-1}-\dots-Q_q\varepsilon_{t-q}=(1-Q_1B-\dots-Q_qB^q)\varepsilon_t=\varTheta(B)\varepsilon_t\\
\end{aligned}
\label{skol}
\end{equation}

Основываясь на определении (\ref{skol}) и свойствах белого шума,
найдем некоторые характеристики данного класса процессов: \\
$$
R(k)=\begin{cases}

(1+Q_1^2+\dots+Q_q^2)\sigma_{\varepsilon}^2 k=0\\
(-Q_k+\sum\limits_{j=1}^{q-k}{Q_j Q_{j+k}})\sigma_{\varepsilon}^2  k=\overline{1,q}\\
0 k>q\\
\end{cases}
$$

$$
\rho(k)=\frac{R(k)}{R(0)}=\begin{cases}

1 k=0\\
\frac{-Q_k+\sum\limits_{j=1}^{q-k}{Q_j Q_{j+k}}}{1+Q_1^2+\dots+Q_q^2}  k=\overline{1,q}\\
0 k>q\\
\end{cases}
$$

Пример:\\
Рассмотрим $CC(1)$:\\
$Y_t=\varepsilon_t-Q\varepsilon_{t-1}$\\
Тогда:
\begin{align*}
&\mathsf D Y_t=(1+Q^2)\sigma_{\varepsilon}^2\\
&\rho(1)=-\frac{Q}{1+Q^2}\\
&\rho(k)=0k>1\\
\end{align*}
Найдем частную автокорреляционную функцию. Для этого составим
ковариционную матрицу:\\
$$
\begin{pmatrix}
1& \rho& \ldots &0& 0\\
\rho& 1& \ldots &0& 0\\
\vdots& \vdots& \ddots& \vdots& \vdots\\
0& 0& \ldots& 1& \rho\\
0& 0& \ldots& \rho& 1\\
\end{pmatrix}
$$
Откуда сразу по определению получаем:\\
$\phi(k)=\frac{Q^k(1-Q^2)}{1-Q^{2(k+1)}}$

\item
Процессы авторегрессии порядка $p$.\\
Обозначение: $AP(p)$.\\
Определение:
\begin{equation}
\begin{aligned}
&\pi_k=0 k>p\\
&\pi_k = -\varPhi_k 0\le k\le p\\
&Y_t=\varPhi_1 Y_{t-1}+\dots+\varPhi_p Y_{t-p}+\varepsilon_t \\
\end{aligned}
\label{avtoreg}
\end{equation}

Обозначим:\\
$\varPhi(B)=1+\varPhi_1B+\dots + \varPhi_pB^p$.\\
Будем предполагать, что $\varPhi(B)\ne 0$ при $||B|| <1$.

Основываясь на определении (\ref{avtoreg}) и свойствах белого
шума, найдем некоторые характеристики данного класса процессов: \\

$$
\begin{aligned}
&\mathsf E Y_t Y_t= \mathsf E (\varPhi_1 Y_{t-1} + \dots +\varPhi_p Y_{t-p}+\varepsilon_t)Y_t \Rightarrow\\
&R(0)=\varPhi_1R(1)+\dots+\varPhi_pR(p)+\sigma_{\varepsilon}^2 \stackrel{:R(0)}{\Rightarrow}\\
&R(0)=\sigma_{\varepsilon}^2(1- \varPhi_1\rho(1)-\dots-\varPhi_p\rho(p))^{-1} \Rightarrow\\
&\rho(k)=\varPhi_1\rho(k-1)+\dots+\varPhi_p\rho(k-p) k>0
\end{aligned}
$$

Последнее равенство можно переписать в следующем виде:
$P\varPhi=\rho$ (система Юла-Уокера), где
$$
P=\begin{pmatrix}
1& \rho(1)& \ldots &\rho(p)\\
\rho(1)& 1& \ldots &1\\
\vdots& \vdots& \ddots& \vdots\\
\rho(p)& \rho(p-1)& \ldots& 1\\
\end{pmatrix}
$$
\end{itemize}

Рассмотрим процесс авторегрессии порядка 1:$$X_t=\Phi
X_{t-1}+\varepsilon_t$$Ряд стационарен, если $\mid\Phi\mid<1$.
Иначе можно записать:$$(1-\Phi B)X_t=\varepsilon_t$$Для
невырожденного случая имеем:
\begin{align*}
&\ X_t=(1-\Phi
B)^{-1}\varepsilon_t=(1+\sum^{\infty}_{1}\Phi^{j}B^{j})\varepsilon_t=\varepsilon_t+\Phi\varepsilon_1+\ldots+\Phi^k\varepsilon_{k-1}+\ldots
,\\
& \rho_k=\Phi\rho_{k-1},\quad k>0,
\\& \rho_0=1, \\& \rho_k=\Phi^k\\&
R_0=\frac{\sigma^2_\varepsilon}{1-\Phi^2}\\
\end{align*}
Следовательно, чем ближе $\Phi$ будет к 1, тем больше будет
дисперсия. Было также показано, что для $k>0$ для $X_t$ корреляция
будет нулевая. \\ Рассмотрим теперь процессы авторегрессии
скользящего среднего. Смешанные процессы и процессы
авторегрессионного порядка $(p,q)$ записываются как:
\begin{align*}
X_t&=\Phi_1X_{t-1}+\ldots+\Phi_pX_{t-p}+\varepsilon_t-Q_1\varepsilon_{t-1}-\ldots-Q_q\varepsilon_{t-q}, (\star)\\
\rho_k&=\Phi\rho_{k-1},\quad k>0\\
\Phi(B)X_t&=\theta(B)\varepsilon_t  (\ast)
\end{align*}
Условие стационарности и обратимости: характеристические корни
$(\ast)$ должны лежать вне единичного круга комплексной плоскости.
Хотим посчитать $R(k)$. Для этого обе части $(\star)$ умножим на
$X_{t-k}$ и возьмем математическое ожидание, получим:
\begin{align*}
&R(k)=\Phi_1R(k-1)+\ldots+\Phi_pR(k-p)+Y_{x\varepsilon}(k)-Q_1Y_{x\varepsilon}(k-1)-\ldots-Q_qY_{x\varepsilon}(k-q)\\
& Y_{x\varepsilon}(k)=E(X_{t-k}\varepsilon_t)
\\& Y_{x\varepsilon}(k)=0,\quad k>0
\end{align*}
Следовательно, если $k\geq q+1$, то $\Phi(B)\rho_k=0$. То есть
этот процесс начинает себя вести как процесс авторегрессии
Юла-Уокера. \\ Рассмотрим процесс \textbf{АРСС}$(1,1)$. Это
процесс вида:$$X_t=\Phi
X_{t-1}+\varepsilon_t-Q\varepsilon_{t-1},\quad \mid
\Phi\mid<1,\quad \mid Q\mid<1$$
\begin{align*}
&R(k)=\Phi X_{t-1}+\ldots+Y_{x\varepsilon}(k)-QY_{x\varepsilon}(k-1)\\
\end{align*}
$$R(k)=\begin{cases} \Phi R(k-1),
\quad k\geq 2\\\Phi R(0)-Q\sigma^2_\varepsilon,\quad k=1\\\Phi
R(1)+\sigma^2_\varepsilon-Q(\Phi-Q)\sigma^2_\varepsilon,\quad k=0
\end{cases}$$
$$R(0)=\frac{1-2\Phi Q}{1-\Phi^2}\sigma^2_\varepsilon,\quad R(1)=\frac{(1-\Phi Q)(\Phi-Q)}{1-\Phi^2}\sigma^2_\varepsilon$$
$$R(k)=\Phi^{k-1}R(1),\quad k\geq2$$ Можно найти коэффициенты
корреляции:$$\rho_k=\Phi^{k-1}\rho(1),\quad k\geq 2$$
$$\rho_1=\frac{(1-\Phi Q)(\Phi-Q)}{1-2\Phi Q+Q^2}$$
Рассмотрим теперь следующую таблицу:\\
\\

\hspace{-2cm}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\textbf{Представление} & \textbf{АР(p)} & \textbf{СС(q)} & \textbf{АРСС(p,q)}\\
\hline \textbf{Через прошлые } & $\Phi(B)X_t=\varepsilon_t$ &
$Q^{-1}(B)X_t=\varepsilon_t$ &
$Q^{-1}(B)\Phi(B)X_t=\varepsilon_t$\\
 \textbf{значения $X_t$}& & & \\
 \hline \textbf{Через $\varepsilon_t$} &
$X_t=\Phi^{-1}(B)\varepsilon_t$ &
$X_t=Q(B)\varepsilon_t$ & $X_t=\Phi^{-1}(B)Q(B)\varepsilon_t$ \\
\hline \textbf{Условие стационарности} & корни $\Phi(B)$
& всегда & корни $\Phi(B)$  \\
 & лежат вне ед.круга & & лежат вне ед.круга\\
 \hline \textbf{Условие обратимости} & всегда & корни $\Phi(B)$ & корни
 $\Phi(B)$\\
 & & лежат вне ед.круга & лежат вне ед.круга \\
 \hline \textbf{Автоковар. функция} & затухает как $exp$ & обрывается на &
после $q-p+1$ \\
 & или синусоида & задержке $q$ & бесконечно убывает как\\
 & & & $exp$ или синусоида, а \\
 & & & $\rho_1 \ldots \rho_{q-p+1}$ выбиваются \\
 & & & из общей картины \\
\hline \textbf{Частная автоковар.} & обрывается на & затухает как
$exp$ &
после $p-q-1$ \\
 \textbf{функция} & задержке $q$ & или синусоида  & бесконечно
убывает как \\
  & & & $exp$ или синусоида \\
 \hline
\end{tabular}
%\section*{Интерпретация графиков автоковариационной и частной \\автоковариационной функций}

Здесь должен быть еще кусочек текста.


Хотим для некоторого явления подобрать модель. Для этого выбираем несколько базовых моделей,
одну из которых выберем впоследствии как модель, описывающую явление. Рассмотрим некоторые
базовые модели и параметры, от которых зависят эти модели. Затем будем прогнозировать значения
процесса.

